No mundo dos derivativos, os pagamentos de opções europeias podem ser gerados por combinações de pagamentos com projeções “hockey stick” (do inglês, curva taco de hóquei) ou monômios. As assinaturas também podem ser usadas para gerar opções dependentes de trajetória. Nesta palestra, Bruno Dupire, chefe de pesquisas quantitativas do escritório do CTO da Bloomberg, apresentou assinaturas, dependência de trajetória e hedge profundo, explicando que o conceito de assinaturas está na interseção de vários ramos da matemática, incluindo cálculo, análise funcional, geometria e análise combinatória. Esta pesquisa é conduzida em conjunto com Valentin Tissot-Daguette, Guixin Liu e Bryan Liang.
Assinaturas: o processo e seus usos
As assinaturas podem ser usadas como recursos de trajetória para aprendizado de máquina, incluindo séries temporais e ideogramas, para que as Redes adversárias generativas (GANS) gerem dados que imitem o mercado como base de opções dependentes de trajetória e para a precificação e hedge de opções. Na definição de assinatura, para uma trajetória d-dimensional, uma série de palavras é definida, onde cada uma corresponde a uma dimensão. A assinatura da trajetória será então uma coleção de integrais iteradas, cada uma correspondente a uma palavra. Como exemplo, um ativo e sua série de preços podem ser examinados. As assinaturas serão iteradas como integrais de Stratonovich com relação às variáveis para tempo e preço, e elas serão descritas por uma palavra com letras {t, x} que se referem a tempo e preço, e que serão designadas como cadeias binárias, onde t corresponde a 0 e x corresponde a 1.
Considere as possibilidades
A partir do exercício inicial, é possível pegar uma coleção de palavras denotadas por alfa e beta, por exemplo, que embaralham as palavras ao mesmo tempo que as mantém na mesma ordem, uma independentemente da outra. Isso permite a representação de uma função não linear da assinatura como uma combinação linear de assinaturas de ordem superior. Estendendo às propriedades das palavras por meio do uso da Identidade de Chen, haverá uma concatenação de trajetórias, onde os resultados abrangem todas as possíveis partições de alfa. Isso fornece uma maneira sistemática de calcular as assinaturas de uma trajetória mais longa conhecendo cada um dos segmentos mais curtos dela. Os métodos também podem ser aplicados para produzir assinaturas de funções lineares, monômios e projeções “hockey stick”, tudo através da manipulação dos termos e da elaboração de segmentos e soluções. Em termos de reconstrução de trajetória, é certamente possível calcular as assinaturas de uma trajetória, mas será que a trajetória pode ser reconstruída a partir das assinaturas; será que ela é reversível? A resposta é sim, e um subconjunto de palavras será adequado, pois fornecem um conjunto completo de médias ponderadas da trajetória.
Expansão funcional de Taylor
O cálculo de Itō para funcionais é uma estrutura para analisar a dependência de trajetória. Seus principais ingredientes são trajetórias e funcionais, cujo valor depende de toda a trajetória, e não apenas do valor atual. Dentro desta estrutura, há uma série de Taylor para funcionais que nos permite aproximar o valor de um funcional em uma trajetória pela soma das palavras de produtos de dois termos. O primeiro termo é a derivada funcional com a ordem da diferenciação dada pela palavra; ela depende apenas da funcional e não da trajetória. O segundo termo é a assinatura da trajetória associada à palavra; ela depende apenas da trajetória, não da funcional. Em resumo, as assinaturas são blocos de construção naturais de opções dependentes da trajetória.
Uma alternativa ao hedge profundo
Uma estratégia de hedge que dependa apenas do histórico passado de preços é uma funcional e pode ser expressa como uma combinação linear de assinaturas. Dada uma função objetiva, como a variação do L&P, a procura pelo hedge ideal se resume a encontrar os coeficientes da combinação. A abordagem fornece uma alternativa rápida ao hedge profundo, pois é mais fácil resolver um problema linear do que otimizar os pesos de uma rede neural como ocorre com hedge profundo. Os exemplos fornecidos incluem opções de compra e de início forward europeias.
As referências para esta apresentação incluem Dupire 2009 “Funcional Itō Calculus”, que foi publicada na SSRN.
Lightning talks
Após a curta sessão de Q&A, Bruno Dupire deu início a uma série de apresentações de 5 minutos, as chamadas “lightning talks”, nas quais especialistas do setor, pesquisadores e acadêmicos apresentam uma ampla variedade de assuntos, a fim de estimular novas ideias e interações entre várias disciplinas. Cada palestra examina a maneira como o setor está evoluindo e serve como uma trilha exploratória essencial da série de seminários Bloomberg Quant (BBQ).
Nesta sessão, Dhruv Madeka, da Amazon, explicou seu trabalho com dados complexos de cauda pesada e o uso de inferência causal no aprendizado supervisionado, Janna Levin, da Faculdade Barnard da Universidade de Columbia, forneceu uma breve história de cosmologia e da natureza dos buracos negros, e Romana Paolucci, da Universidade James Madison, apresentou trabalhos sobre codificadores automáticos variacionais, que podem resolver desafios na geração de imagens realistas pela modelagem de distribuições latentes.
Sobre a série de seminários Bloomberg Quant
A série de seminários Bloomberg Quant (BBQ) ocorre todo mês e abrange uma ampla gama de tópicos em finanças quantitativas. O seminário BBQ é oferecido em formato virtual e programado para acomodar participantes de toda a EMEA e das Américas. As sessões são presididas por Bruno Dupire, chefe de Pesquisa Quantitativa da Bloomberg L.P., e traz um(a) orador(a) principal apresentando sua pesquisa atual. Esta apresentação é seguida por diversas “lightning talks”, de cinco minutos cada, em rápida sucessão. Este formato oferece ao público a oportunidade de imersão em uma variedade maior de tópicos.
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